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在雙曲線的一支上有不同的三點A（x1,y1）、B（x2,6）、C(x3,y3),與焦點F（0，5）的距離成等差數列.

（1）求y1+y3的值；

（2）求證：線段AC的垂直平分線經過某一定點，并求出定點坐標.

（1）解：∵,

∴|PF|=ey-a.又A、B、C到F的距離成等差數列，∴2（ey2-a）=(ey1-a)+(ey3-a).

∴y1+y3=2y2=12.

(2)證明：由題意，得

①-②，得(y1-y3)(y1+y3)-(x1-x3)·(x1+x3)=0.

∴==.

若x1+x3=0.

則kAC=0,y1=y3=y2=6,A、B、C三點共線，這是不可能的.

∴x1+x3≠0.則AC的中垂線方程為y-6=(x-),

即y=.因此，AC的中垂線過定點（0,）.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1有公共焦點，且以拋物線y2=2x的準線為雙曲線C的一條準線．動直線l過雙曲線C的右焦點F且與雙曲線的右支交于P、Q兩點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）無論直線l繞點F怎樣轉動，在雙曲線C上是否總存在定點M，使MP⊥MQ恒成立？若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2010年湖北省高二上學期期中考試數學試卷 題型：解答題

(13分) （理科）已知雙曲線與橢圓有公共焦點，且以拋物線的準線為雙曲線的一條準線．動直線過雙曲線的右焦點且與雙曲線的右支交于兩點．

（1）求雙曲線的方程；

（2）無論直線繞點怎樣轉動，在雙曲線上是否總存在定點，使恒成立？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線與橢圓有公共焦點，且以拋物線的準線為雙曲線的一條準線．動直線過雙曲線的右焦點且與雙曲線的右支交于兩點．

（1）求雙曲線的方程；

（2）無論直線繞點怎樣轉動，在雙曲線上是否總存在定點，使恒成立？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2011年重慶十一中高考數學一模訓練試卷（二）（解析版） 題型：解答題

已知雙曲線與橢圓有公共焦點，且以拋物線y2=2x的準線為雙曲線C的一條準線．動直線l過雙曲線C的右焦點F且與雙曲線的右支交于P、Q兩點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）無論直線l繞點F怎樣轉動，在雙曲線C上是否總存在定點M，使MP⊥MQ恒成立？若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

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