Question

已知△ABC的兩個頂點為B（-2，0），C（2，0），周長為12．
（1）求頂點A的軌跡G方程；
（2）若直線與點A的軌跡G交于M、N兩點，求△BMN的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形的周長和定點，得到點A到兩個定點的距離之和等于定值，得到點A的軌跡是橢圓，橢圓的焦點在y軸上，寫出橢圓的方程，去掉不合題意的點．
（2）由，解得M（2，），N（-2，-），故=2，由B（-2，0）到直線的距離d=，能求出△BMN的面積．
解答：解：（1）∵△ABC的兩頂點B（-2，0），C（2，0），周長為12，∴BC=4，AB+AC=8，
∵8＞4，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，
∴點A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，
∵2a=8，2c=4，
所以橢圓的標準方程是．
（2）由，得3x²+4（）²=48，
∴4x²=48，x²=12，
解得，
∴，
∴M（2，），N（-2，-）
∴=2，
∵B（-2，0）到直線的距離d=，
∴△BMN的面積S==2．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意點到直線的距離公式的合理運用．