Question

（本小題滿分12分）

如圖3，在正三棱柱中，AB=4，,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

點(diǎn)E在AC上，且DEE。

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求直線AD和平面所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）證明見(jiàn)解析。

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面.

又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,

所以DE⊥平面.又DE 平面，

故平面⊥平面.

 （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于點(diǎn),

連接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，

所以AF平面,故是直線AD和

平面所成的角。因?yàn)?i>DE，

所以DEAC.而ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，

于是AD=，AE=4-CE=4-=3.

又因?yàn)?img width=65 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/59/200659.gif">，所以E= = 4,

 ,  .

即直線AD和平面所成角的正弦值為。