Question

如圖為三角函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

）圖象的一段．
（1）求函數的解析式及f(

3π

16

)的值；
（2）如果函數y=f （x）-m在（-

π

8

，

3π

16

）內有且僅有一個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過函數的圖象，求出A，T得到ω，利用圖象經過（

π

3

，0），求出φ即可得到函數的解析式，然后利用兩角差的正弦函數求出f(

3π

16

)的值；
（2）函數y=f （x）-m在（-

π

8

，

3π

16

）內有且僅有一個零點，轉化方程只有一個根，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意與圖象可知A=2，T=2×（

7π

12

-

π

3

）=

π

2

，所以ω=

2π

T

=4．
曲線經過（

π

3

，0）所以0=2sin（4×

π

3

+φ），|φ|≤

π

2

，
φ=-

π

3

，
三角函數f（x）=2sin（4x-

π

3

）．
f（

3π

16

）=2sin（4×

3π

16

-

π

3

）=2sin

3π

4

cos

π

3

-2cos

3π

4

sin

π

3

=

2 + 6

2

．
（2）x∈（-

π

8

，

3π

16

），所以4x-

π

3

∈( -

5π

6

，

5π

12

)，
函數y=f （x）-m在（-

π

8

，

3π

16

）內有且僅有一個零點，
即方程2sin（4x-

π

3

）=m在（-

π

8

，

3π

16

）內有且僅有一個根，
所以4x-

π

3

=-

π

2

，函數只有一個零點，此時m=-2；
4x-

π

3

∈[ -

π

6

，

5π

12

)時函數也只有一個零點，此時-1≤m＜

2 + 6

2

．

點評：本題考查函數解析式的求法，函數的零點與方程的根，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用．