Question

如圖在△ABC中，D為BC邊的中點．

AM

=m

AB

，

AN

=n

AC

，MN與AD交于P點，

AP

=x

AD

．
（1）當m=1，n=

1

2

時，求x的值；
（2）當m，n∈（0，1）時，試用m，n表示x．．

Answer 1

分析：（1）當m=1，n=

1

2

時，點P為△ABC的重心，由此能求出x的值．

(2)設 AP =p AM +q AN

，由M，P，N共線，知p+q=1.x

AD

=pm

AB

+qn

AC

，又∵

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，

x

2

(

AB

+

AC

)=pm

AB

+qn

AC

．由

AB

與

AC

不共線，能用用m，n表示x．

解答：解：（1）當m=1，n=

1

2

時，
點P為△ABC的重心，
∴x=

2

3

．

(2)設 AP =p AM +q AN

，
∵M，P，N共線
∴p+q=1
∴x

AD

=pm

AB

+qn

AC

，又∵

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)
∴

x

2

(

AB

+

AC

)=pm

AB

+qn

AC

∵

AB

與

AC

不共線
∴

x 2 =pm x 2 =qn

⇒

1

m

+

1

n

=

2

x

即x=

2mn

m+n

點評：本題考查向量在幾何中的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意三角形的重心性質的運用．