Question

（2012•廣東）設a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用區間表示）；
（2）求函數f（x）=2x³-3（1+a）x²+6ax在D內的極值點．

Answer 1

分析：（1）根據方程2x²-3（1+a）x+6a=0的判別式討論a的范圍，求出相應D即可；
（2）由f'（x）=6x²-6（1+a）x+6a=0得x=1，a，然后根據（1）中討論的a的取值范圍分別求出函數極值即可．

解答：解：（1）記h（x）=2x²-3（1+a）x+6a（a＜1）
△=9（1+a）²-48a=（3a-1）（3a-9）
當△＜0，即

1

3

＜a＜1，D=（0，+∞）
當0＜a≤

1

3

，D=(0，

3+3a- 9a2-30a+9

4

)∪(

3+3a+ 9a2-30a+9

4

，+∞)
當a≤0，D=(

3+3a+ 9a2-30a+9

4

，+∞)
（2）由f'（x）=6x²-6（1+a）x+6a=0得x=1，a
①當

1

3

＜a＜1，f（x）在D內有一個極大值點a，有一個極小值點
②當0＜a≤

1

3

，∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0
h（a）=2a²-3（1+a）a+6a=3a-a²＞0
∴1∉D，a∈D
∴f（x）在D內有一個極大值點a
③當a≤0，則a∉D
又∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1＜0
∴f（x）在D內有無極值點

點評：本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及利用導數研究函數的極值，同時考查了計算能力和分類討論的數學思想，屬于中檔題．