Question

設(shè)數(shù)列
（1）求
（2）求的表達(dá)式。

20090507

Answer 1

（1）（2）.

第一問，利用遞推關(guān)系令值可知
當(dāng)時(shí)同理，可解得
第二問中，由于由題設(shè)
那么當(dāng)代入上式，得，則有S₁，S₂，歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明。
解：（1）當(dāng)時(shí)，由已知得
同理，可解得   4分
（2）解：由題設(shè)
當(dāng)
代入上式，得    （*） 6分
由（1）可得
由（*）式可得
由此猜想：   8分
證明：①當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。
②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，
即
那么，由（*）得

所以當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立，
根據(jù)①和②可知，
對所有正整數(shù)n都成立。
因   12分