Question

（2012•閘北區二模）設橢圓C：x²+2y²=2b²（常數b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，M，N是直線l：x=2b上的兩個動點，

F1M

•

F2N

=0．
（1）若|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，求b的值；
（2）求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）設M（2b，y₁），N（2b，y₂），根據橢圓方程得到橢圓左、右焦點的坐標，從而得到向量

F1M

、

F2N

的坐標，結合向量數量積的坐標公式和向量模的公式建立關于b、y₁、y₂的方程組，消去y₁、y₂，可得正數b的值．
（2）由（1）設的坐標，得|MN|=|y₁-y₂|，將其平方再用基本不等式，即可得到當且僅當y₁、y₂互為相反數且其中一個為

3

b時，|MN|²的最小值為12b²，由此得到|MN|的最小值．

解答：解：設M（2b，y₁），N（2b，y₂）…（1分）
∵橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，∴橢圓的左右焦點分別為F₁（-b，0），F₂（b，0），
由此可得：

F1M

=(3b，y1)，

F2N

=(b，y2)，
∵

F1M

•

F2N

=0，∴3b•b+y₁y₂=0，得y1y2=-3b2①…（3分）
（1）由|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，得

(3b)2+ y 2 1

=2

5

…②，

b2+ y 2 2

=2

5

③…（5分）
由①、②、③三式，消去y₁，y₂，可得b=

2

． …（8分）
（2）∵M（2b，y₁），N（2b，y₂），
∴|MN|2=(y1-y2)2=

y

2 1

+

y

2 2

-2y1y2≥-2y1y2-2y1y2=-4y1y2=12b2，（12分）
當且僅當y1=-y2=

3

b或y2=-y1=

3

b時，|MN|取最小值2

3

b． …（14分）

點評：本題以平面向量的坐標運算為載體，考查了橢圓的標準方程、簡單幾何性質和向量的數量積運算等知識，屬于基礎題．