Question

【題目】已知函數f（x），x∈R．

（1）若f（x）是偶函數，求實數a的值；

（2）當a＞0時，不等式f（sinxcosx）﹣f（4+t）≥0對任意的x∈恒成立，求實數t的取值范圍；

（3）當a＞0時，關于x的方程在區間[1，2]上恰有兩個不同的實數解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a；（2）（]；（3）（，log4]

【解析】

（1）根據f（x）是偶函數，有f（﹣x）＝f（x），得log2（2﹣x+1）+a（﹣x）＝log2（2x+1）+ax化簡求解.

（2）由a＞0，結合對數函數和一次函數的單調性，得到函數f（x）＝log2（2x+1）+ax是增函數，然后利用單調性的定義，將不等式f（sinxcosx）﹣f（4+t）≥0，轉化為sinxcosx≥4+t，對任意的x∈恒成立，利用三角函數的性質求解.

（3）根據題意，有 f（0）＝1，將方程f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1，轉化為f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝f（0）．再利用函數的單調性，轉化為變形為：1og4a，通過函數g（x）的圖象與y＝a有2個交點求解.

（1）根據題意，若f（x）是偶函數，則f（﹣x）＝f（x），

則有log2（2﹣x+1）+a（﹣x）＝log2（2x+1）+ax，變形可得2ax＝log2（2﹣x+1）﹣log2（2x+1）＝﹣x，

解得a；

（2）當a＞0時，函數y＝log2（2x+1）和函數y＝ax都是增函數，則函數f（x）＝log2（2x+1）+ax為增函數，

∵不等式f（sinxcosx）﹣f（4+t）≥0，所以f（）≥f（4+t）對任意的x∈恒成立

∴sinxcosx≥4+t，對任意的x∈恒成立；

∴t≤2sin（x）﹣4對任意的x∈恒成立；

∴t≤（2sin（x）﹣4）min，x∈；

由x∈，得x∈[]，

∴當x時，sin（x）﹣4的最小值為4；

∴t；故t的取值范圍為（]．

（3）根據題意，函數f（x）＝log2（2x+1）+ax，有f（0）＝1，

則f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1即f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝f（0）．

又由當a＞0時，函數f（x）＝log2（2x+1）+ax為增函數，

則有f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）＝0，

即log2（2x+1）﹣1og4（2x﹣1）＝a，

變形可得：1og4a，設g（x）＝1og4，

若方程f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1在區間[1，2]上恰有兩個不同的實數解，則函數g（x）的圖象與y＝a有2個交點，

對于g（x）＝1og4，設h（x），則h（x）（2x﹣1）4．

又由1≤x≤2，則1≤2x﹣1≤3，則h（x）min＝8，h（1）＝9，h（2），則h（x）max＝9，

若函數g（x）的圖象與y＝a有2個交點，

必有log48a≤log4，

故a的取值范圍為（，log4]．