Question

設火箭的質量是箭體質量m(kg)與燃料質量之和，在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的飛行速度之差與這枚火箭質量的自然對數之差成正比.已知某火箭在燃料質量為m(kg)時的飛行速度為2ln2(km/s).當燃料質量為m(e-1)( kg)時，該火箭的飛行速度為2(km/s).

(1)寫出該火箭飛行速度y與燃料質量x的函數關系y=f(x);

(2)函數y=f(x)的圖象是否可由y=e^x的圖象經過對稱、平移和伸縮等得到？如果能，經過怎樣的變換得到？

Answer 1

解析：（1）設比例系數為k,則y-2ln2=k［ln(x+m)-ln(2m)］.①?

將x=m(e-1),y=2代入上式，得2-2ln2=k［ln(x+m)-ln(2m)］,?

∴k=2.②?

代入①得y-2ln2=2［ln(x+m)-ln(2m)］,整理得

火箭飛行速度y與燃料質量x的函數關系式是y=2ln(1+).??

（2）y=f(x)的圖象可由y=e^x的圖象經變換得到，變換如下：?

①作函數y=e^x的圖象關于直線y=x的對稱圖形，得到函數y=lnx的圖象;?

②把得到的圖象向左移一個單位，得到函數y=ln(1+x)的圖象;?

③把得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的m倍（縱坐標不變），得到y=ln(1+)的圖象；

④把得到的圖象上各點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），得到y=2ln (1+)?的圖象.?

綜上由y=e^x經題述變換得到函數y=f(x)的圖象.