Question

已知圓C的方程為x²+y²-6x-2y+5=0，過點P（2，0）的動直線l與圓C交于P₁，P₂兩點，過點P₁，P₂分別作圓C的切線l₁，l₂，設l₁與l₂交點為M，求證：點M在一條定直線上，并求出這條定直線的方程．

Answer 1

分析：設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），M（x₀，y₀），由切線的性質，可得MP₁⊥CP₁，進而得到（x₀-3）（ x₁-3）+（y₀-1）（y₁-1）=5，由MP₂⊥CP₂，可得（x₀-3）（x₂-3）+（y₀-1）（y₂-1）=5，即過點P₁，P₂的直線方程為（x-3）（x₀-3）+（y-1）（y₀-1）=5，將點P（2，0）代入化簡可得點M所在定直線的方程．

解答：解：⊙C：（x-3）²+（y-1）²=5的圓心C為（3，1）．…（1分）
設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），M（x₀，y₀），…（2分）
因為P₁M與圓C相切，所以MP₁⊥CP₁．  …（4分）
所以（x₁-x₀）（x₁-3）+（y₁-y₀）（y₁-1）=0，
即（x₁-3）²+（3-x₀）（x₁-3）+（y₁-1）²+（1-y₀）（y₁-1）=0，…（6分）
因為（x₁-3）²+（y₁-1）²=5，
所以（x₀-3）（ x₁-3）+（y₀-1）（y₁-1）=5，…（8分）
同理（x₀-3）（x₂-3）+（y₀-1）（y₂-1）=5．
所以過點P₁，P₂的直線方程為（x-3）（x₀-3）+（y-1）（y₀-1）=5．…（10分）
因直線P₁P₂過點（2，0）．
所以代入得（2-3）（x₀-3）+（0-1）（y₀-1）=5，
即x₀+y₀+1=0．
所以點M恒在直線x+y+1=0上．…（12分）

點評：本題考查的知識點是切線的性質，直線方程，點與直線的位置關系，其中根據已知結合切線的性質，得到過點P₁，P₂的直線方程為（x-3）（x₀-3）+（y-1）（y₀-1）=5，是解答的關鍵．