Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A的中點．
（1）求證：A1C∥平面BED；
（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖建立空間直角坐標系，取BD的中點O，連接EO．

A1（0，0，4），C（3，3，0），E（0，0，2），O（ ， ，0）

=（3，3，﹣4）， =（ ， ，﹣2），

∴ =2 ，∴A1C∥EO．

∵EO平面BED，A1C平面BED，

∴A1C∥平面BED

（2）解：由于AE⊥平面ABCD，

則 =（0，0，2）就是平面ABCD的法向量．

B（3，0，0），D（0，3，0），

=（﹣3，0，2）， =（﹣3，3，0），

設平面EBD的法向量為 =（x，y，z）．

得

令z=3，則 =（2，2，3）．

cos = ，

∴二面角E﹣BD﹣A的正切值為 ．

【解析】（1）建立空間直角坐標系，先求得相關點的坐標，從而得到 =（3，3，﹣4）， =（ ， ，﹣2），然后由共線向量定理證明即可．（2）分別求得二個半平面的一個法向量即可，由于AE⊥平面ABCD，則 =（0，0，2）就是平面ABCD的法向量．B（3，0，0），D（0，3，0），再求得平面EBD的一個法向量為，用向量的夾角公式求解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)．