Question

已知向量n=（1，0），點A（0，2），動點P滿足：|

0P

|比向量

0P

在n的方向上的投影多2．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）在P點的軌跡上是否存在兩點B、C，使得AB⊥BC？若存在，求C點的縱坐標的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據向量

0P

在n的方向上的投影為|

0P

|cos∠POx，即P點到y軸的距離，又|

0P

|比向量

0P

在n的方向上的投影多2，得出P點到原點的距離等于它到直線x=-2的距離，最后根據拋物線的定義得出所求的軌跡方程；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在這樣的兩點B、C，再利用均值不等式，求出y₂的范圍，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）∵向量

0P

在n的方向上的投影為|

0P

|cos∠POx，即P點到y軸的距離，又|

0P

|比向量

0P

在n的方向上的投影多2，
∴P點到原點的距離等于它到直線x=-2的距離，∴P點的軌跡是以原點為焦點、直線x=-2為準線的拋物線．
故所求的軌跡方程為y²=4（x+1）．
（2）假設存在這樣的兩點B、C，設B（

1

4

y₁²-1，y₁），C（

1

4

y₂²-1，y₂），
則

AB

=（

1

4

y₁²-1，y₁-2）=

1

4

（ y₁-2）（y₁+2，4），

BC

=（

1

4

y₂²-

1

4

y₁²，y₂-y₁）=

1

4

（ y₂-y₁） （y₂+y₁，4），
又AB⊥BC，∴

AB

•

BC

=0，即

1

4

（ y₁-2）

1

4

（ y₂-y₁）[（y₁+2）（y₂+y₁）+16]=0，
即y₂=-

16

y1+2

-y₁=2-（

16

y1+2

+y₁+2）．由均值不等式得y₂≥10或y₂≤-6．
故存在這樣的兩點B、C，且C點的縱坐標的取值范圍為 （-∞，-6]∪[10，+∞）．

點評：本小題主要考查拋物線的簡單性質、軌跡方程、向量的坐標運算等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于基礎題．