Question

已知動圓M過定點P（0，m）（m＞0），且與定直線l₁：y=-m相切，動圓圓心M的軌跡為C，直線l₂過點P交曲線C于A，B兩點．
（1）求曲線C的方程．（2）若l₂交x軸于點S，且，求l₂的方程．（3）若l₂的傾斜角為30°，在l₁上是否存在點E使△ABE為正三角形？若能，求點E的坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，曲線C是以點P為焦點，直線l₁為準線的拋物線，
所以曲線C的方程為x²=4my
（2）由題意知k存在且k≠0
設l₂方程為y=kx+m，代入x²=4my由消去y得x²-4mkx-4m²=0
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4mk，x₁x₂=-4m²=
所以，l₂方程為
（3）由（Ⅰ）知l₂方程為代入x²=4my，消去y得：，
假設存在點E（x₀，-m），使△ABE為正三角形，則|BE|=|AB|=|AE|
由|BE|=|AE|
即，
化簡得
因為，則
因此，直線l上不存在點E，使得△ABE是正三角形．
分析：（1）依題意，曲線C是以點P為焦點，直線l₁為準線的拋物線，由此可知曲線C的方程．
（2）由題意知k存在且k≠0，設l₂方程為y=kx+m，代入x²=4my由消去y得x²-4mkx-4m²=0
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4mk，x₁x₂=-4m²，由題設條件知，l₂方程為．
（3）由題設知l₂方程為代入x²=4my，消去y得：，，假設存在點E（x₀，-m），使△ABE為正三角形，則|BE|=|AB|=|AE|，由此導出，所以直線l上不存在點E，使得△ABE是正三角形．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，難度較大，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用，合理地進行等價轉化．