Question

已知動圓M過定點P（0，m）（m＞0），且與定直線l₁：y=-m相切，
動圓圓心M的軌跡為C，直線l₂過點P交曲線C于A，B兩點．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若l₂交x軸于點S，且

|SP|

|SA|

+

|SP|

|SB|

=3，求l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）圓心M的軌跡滿足拋物線的方程，進而得到答案．
（2）先判定斜率存在然后得到直線的方程且與拋物線聯立消去y，進而得到兩根之和兩根之積，然后表示出

|SP|

|SA|

+

|SP|

|SB|

整理后使其等于3可求得k的值，進而確定直線的方程．

解答：解：（Ⅰ）依題意，曲線C是以點P為焦點，直線l₁為準線的拋物線，
所以曲線C的方程為x²=4my
（Ⅱ）由題意知k存在且k≠0
設l₂方程為y=kx+m，代入x²=4my由消去y得x²-4mkx-4m²=0
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4mk，x₁x₂=-4m²

|SP|

|SA|

+

|SP|

|SB|

=

m

y1

+

m

y2

=

m(y1+y2)

y1y2

=

m[k(x1+x2)+2m]

(kx1+m)(kx2+m)

=

m[k(x1+x2)+2m]

k2x1x2+mk(x1+x2)+m2

=

m(2m+4mk2)

m2

=2+4k2=3
所以k=±

1

2

，l₂方程為y=±

1

2

x+m．

點評：本題主要考查拋物線的標準方程和直線與拋物線的聯立問題．圓錐曲線是高考的重點，尤其是圓錐曲線與直線的聯立是每年必考的壓軸問題，一定要熟練掌握．