Question

【題目】設函數f（x）=aln（x+1），g（x）=ex﹣1，其中a∈R，e=2.718…為自然對數的底數．
（Ⅰ）當x≥0時，f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求證： ＜ ＜ （參考數據：ln1.1≈0.095）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令h（x）=g（x）﹣f（x），

當x≥0時，h（x）=g（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1），h'（x）=ex﹣ ，

（ⅰ）若a≤1，則 ＜1＜ex，h'（x）＞0，h（x）在（0，+∞）遞增，

h（x）≥h（0）=0，滿足題意，

（ⅱ）若a＞1，h'（x）=ex﹣ ，在（0，+∞）遞增，h′（x）＞h′（0）=1﹣a，1﹣a＜0

且x→+∞時，h′（x）→+∞，則x0∈（0，+∞）使h'（x0）=0

進而h（x）在（0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，存在h（x0）＜h（0）=0，不合題意，

故a≤1；

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，a=1時，g（x）＞f（x）對x＞0恒成立，即ex＞1+ln（x+1）

令x= ，則 ＞1+ln1.1≈1.0953＞ ，

而當a=﹣1時，g（x）＞f（x）對x＜0恒成立，即ex＞ x3+x+1，

令x=﹣ ，則 ＞ （﹣ ）3﹣ +1≈ ，即 ＜ ，

∴ ＜ ＜ ．

【解析】本題抓住1.“f（x）≤g（x）恒成立”結合導數求導及其單調性，分類討論a的取值范圍；2.注意觀察清楚第二問的式子結合第一問的相關知識解題。
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．