Question

已知函數f（x）=2（m+1）x²+4mx+2m-1
（1）當m取何值時，函數的圖象與x軸有兩個零點；
（2）如果函數至少有一個零點在原點的右側，求m的值．

Answer 1

分析：（1）將函數的零點轉化為方程的根，二次型方程有兩個根，令其判別式大于等于0且二次項系數不為0，列出不等式求出m的范圍．
（2）先判斷二次項系數為0時不合題意，再討論原點的兩側各有一個，令判別式大于0，兩根的積小于0，列出不等式解出m的范圍，討論都在原點的右側，令判別式大于0，兩根的和大于0積也大于0列出不等式求出m的范圍．

解答：解：（1）函數f（x）的圖象與x軸有兩個零點，即方程2（m+1）x²+4mx+2m-1=0有兩個不相等的實根，
∴

△=16m2-8(m+1)(2m-1)＞0 2(m+1)≠0

得m＜1且m≠-1
∴當m＜1且m≠-1時，函數f（x）的圖象與x軸有兩個零點．
（2）m=-1時，則f（x）=-4x-3
從而由-4x-3=0得x=-

3

4

＜0
∴函數的零點不在原點的右側，
故m≠-1
當m≠-1時，有3種情況：
①原點的兩側各有一個，則

△=16m2-8(m+1)(2m-1)＞0 x1x2= 2m-1 2(m+1) ＜0

解得-1＜m＜

1

2

②都在原點的右側，則

△=16m2-8(m+1)(2m-1)≥0 x1+x2=- 4m 2(m+1) ＞0 x1x2= 2m-1 2(m+1) ＞0

解得m∈∅
③個零點在原點右側，一個零點就是原點，此時必有2m-1=0，即m=

1

2

，
此時方程的另一個零點為-

2

3

，不合題意，
綜①②③可得m∈(-1，

1

2

)．

點評：解決二次方程的根的個數問題利用判別式；解決含參數的函數的性質問題常需要對參數分類討論．