Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意實數(shù)a，b∈R滿足：，
考察下列結論：①f（0）=f（1）；②數(shù)列{a_n}為等比例數(shù)列；③數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．
其中正確的結論是（ ）
A．①②③
B．①③
C．①②
D．②③

Answer 1

【答案】分析：給a、b賦值，使它們都等于0，再使它們都等于1，得到結論①正確，把第三個條件兩邊同乘n化為整式形式，用第一個式子逐漸展開，得到等比數(shù)列，通過第二步整理，可得第三個結論正確．
解答：解：∵取a=b=0，可得f（0）=0，
取a=b=1，可得f（1）=0，
∴f（0）=f（1），
即①正確，
∵f（ab）=af（b）+bf（a），
∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）
=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）
=2f（2^n-1）+2ⁿ
=…
=n•2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ，b_n=n
∴①②③都正確，
故選A
點評：這種題做起來易出錯，使學生系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學和實際生活中的有關問題