Question

已知二次函數(shù)f（x）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），且f（0）=3，
（1）求f（x）的解析式，
（2）x∈[-1，1]，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，
（3）若f（x）在區(qū)間[a，a+1]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橐阎�二次函�?shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，故可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式f（x）=a（x-1）²+1，代入f（0）=3，即可得a的值，從而得函數(shù)解析式；
（2）先將y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方問題轉(zhuǎn)化為g（x）=x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立問題，從而只需求函數(shù)g（x）的最小值即可得m的取值范圍；
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的對稱軸為x=1，且二次函數(shù)開口向上，故要使函數(shù)f（x）=2（x-1）²+1在[a，a+1]單調(diào)，只需a+1≤1或a≥1，解得a的范圍

解答：解：（1）由已知，設(shè)f（x）=a（x-1）²+1，
由f（0）=3，得a=2，
故f（x）=2x²-4x+3
（2）由已知，即2x²-4x+3＞2x+2m+1，化簡得 x²-3x+1-m＞0，
設(shè)g（x）=x²-3x+1-m，則只要g（x）_min＞0，x∈[-1，1]即可
∵g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上為減函數(shù)
∴g（x）_min=g（1）=-1-m＞0，
∴m＜-1．
（3）要使函數(shù)f（x）=2（x-1）²+1在[a，a+1]單調(diào)，
則a+1≤1或a≥1，
則a≤0或a≥1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤0或a≥1，

點(diǎn)評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的方法，二次函數(shù)不等式恒成立問題的解法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵