Question

雙曲線M的中心在原點，并以橢圓=1的焦點為焦點，以拋物線y²=-2x的準線為右準線．
（1）求雙曲線M的方程；
（2）設直線l：y=kx+3與雙曲線M相交于A、B兩點，O是原點．求k值，使•=0．

Answer 1

解：（1）由題設知，橢圓的半焦距為：，…..（1分）
又拋物線的準線為：．…..（2分）
設雙曲線M的方程為，依題意有，…..（3分）
故，又b²=c²-a²=12-3=9．…..（4分）
∴雙曲線M的方程為．…..（5分）
（2）設直線l與雙曲線M的交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點
聯立方程組消去y得 （k²-3）x²+6k+18=0，…..（7分）
∵A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根，
∴k²-3≠0…..（8分）
∴△=（6k）²-4（k²-3）×18＞0，從而有
，．…（9分）
又y₁=kx₁+3，y₂=kx₂+3
∴
…..…..（11分）
若•=0，則有 x₁x₂+y₁y₂=0，即?k²=1?k=±1．
∴當k=±1時，使得•=0．…..（13分）
分析：（1）由題意可得所求的雙曲線的半焦距 ，準線為：x=從而可得 ，可求雙曲線M的方程
（2）設直線l與雙曲線M的交點為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、聯立方程組 消去y（k²-3）x²+6kx+18=0，設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、則k²-3≠0，△=36k²-4（k²-3）×18＞0，解可得，，從而有 ，由 ，則有x₁x₂+y₁y₂=0，可求k．
點評：本題主要考查了由雙曲線的性質求解雙曲線的方程及直線與曲線的位置關系，要求考生具備一定的邏輯推理與計算的能力，本題具有較大的綜合性．本題的易錯點是混淆橢圓、雙曲線、拋物線的性質．