Question

某連鎖分店銷售某種商品，每件商品的成本為4元，并且每件商品需向總店交元（1≤a≤3）的管理費，預計當每件商品的售價為元（8≤x≤9）時，一年的銷售量為(10－x)²萬件．
（1）求該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與每件商品的售價x的函數關系式L(x)；
（2）當每件商品的售價為多少元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，并求出L的最
大值M(a)．

Answer 1

（1）L(x)= (x－4－a)(10－x)²，x∈[8,9] （2）最大值為16－4a

解析試題分析：（1）該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與售價x的函數關系式為
L(x)= (x－4－a)(10－x)²，x∈[8,9]．
（2） =(10－x)(18+2a－3x)，  
令，得x =6+a或x=10（舍去）．∵1≤a≤3，∴≤6+a≤8.
所以L(x)在x∈[8,9]上單調遞減，故=L(8)=(8－4－a)(10－8)²=16－4a．
即M(a) =16－4a.
答：當每件商品的售價為8元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，
最大值為16－4a萬元．
考點：根據實際問題選擇函數類型；利用導數求閉區間上函數的最值．
點評：考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力，以及利用導數求閉區間上函數最值的能力．