Question

數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，，（n=3，4，…）；數列{b_n}是首項為b₁=1，公比為-2的等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記c_n=na_nb_n（n=1，2，3，…），求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由得，（n≥3）．由此能導出數列{a_n}的通項公式．由數列{b_n}是首相為b₁=1，公比為-2的等比數列，能求出{b_n}的通項公式．
（Ⅱ），記T_n=1•（-2）+2•（-2）+3•（-2）²++n•（-2）^n-1，由錯位相減法能導出，由此能求出數列{c_n}的前n項和S_n．
解答：解：（Ⅰ）由，
得，（n≥3）（2分）
又∵a₂-a₁=1≠0，
∴數列{a_n+1-a_n}是首項為1公比為的等比數列，
∴．
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）
=
=，（4分）
經檢驗它對n=1，2也成立，
∴數列{a_n}的通項公式為（5分）
∵數列{b_n}是首相為b₁=1，
公比為-2的等比數列．
∴b_n=1×（-2）^n-1=（-2）^n-1．（7分）

（Ⅱ），
S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=-
=（10分），
記T_n=1•（-2）+2•（-2）+3•（-2）²+…+n•（-2）^n-1，①
則2T_n=1•（-2）¹+2•（-2）²+…+（n-1）•（-2）^n-1+n•（-2）ⁿ②，
由①-②得：-T_n=（-2）+（-2）+（-2）²+…+（-2）^n-1-n•（-2）ⁿ
=，
∴（12分）
∴（14分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意挖掘題設中的隱含條件．