Question

用數學歸納法證明4ⁿ≥n⁴（n為大于3的正整數）．將4換成其他更大的數能否成立并討論其規律．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：證明題,點列、遞歸數列與數學歸納法,不等式的解法及應用

分析：驗證n=4，5不等式成立，假設n=k（k≥4，k∈N），4^k≥k⁴成立．證明當n=k+1時，不等式也成立，注意運用假設，及作差法，即可得證．將4換成其他更大的數，比如m＞4，則有mⁿ≥n^m（n為大于m-1的正整數）．

解答： 證明：當n=4時，顯然成立，
當n=5時，4⁵=1024，5⁴=625，4⁵＞5⁴，成立；
假設n=k（k≥4，k∈N），4^k≥k⁴成立．
當n=k+1時，4^k+1=4^k•4≥4k⁴，
4k⁴-（k+1）⁴=[2k²-（k+1）²][2k²+（k+1）²]
=（k²-2k-1）[2k²+（k+1）²]=[（k-1）²-2][2k²+（k+1）²]，
由于k≥3，則（k-1）²-2＞0，2k²+（k+1）²＞0，
則有4k⁴-（k+1）⁴≥0，
則有n=k+1時，4^k+1≥（k+1）⁴成立．
綜上，可得，4ⁿ≥n⁴（n為大于3的正整數）．
將4換成其他更大的數，比如m＞4，則有mⁿ≥n^m（n為大于m-1的正整數）．

點評：本題考查不等式的證明，考查運用數學歸納法證明不等式的方法，考查推理能力，屬于中檔題．