Question

已知定圓C₁和兩定點M、N，圓心C₁不在MN的中垂線上，過MN作圓C₂與圓C₁交于P、Q兩點，求證：PQ必過一定點．

Answer 1

分析：建立直角坐標系，得到圓C₁的方程和兩定點M、N的坐標，C₂在MN的中垂線上，設出C₂的坐標（0，k），
寫出圓C₂的方程，將兩圓的方程相減便得到公共弦PQ的方程，再利用直線系過定點得到定點坐標．

解答：證明：以MN所在的直線為x軸，以其中垂線為 y軸，
建立直角坐標系，如圖：設M（-m，0）、N（m，0），C₂（0，k），
設定圓C₁ 的方程為 （x-a）²+（y-b）²=r²，
圓C₂的方程為 x²+（y-k）²=k²+m²，
由題意知，a、b、r、m為定值，k為 參數．
將兩圓的方程相減得直線PQ的方程為-2ax+（2k-2b）y+a²+b²+m²-r²=0，
即2ky+（-2ax-2by+a²+b²+m²-r²）=0，
由

2ky=0 -2ax-2by+a2+b2+m2-r2=0

，
得

x= a2+b2+m2-r  2 2a y=0

，
∴直線PQ經過定點（

a2+b2+m2-r2

2a

，0）．

點評：本題考查兩圓的位置關系以及直線和圓的位置關系，兩圓相交時，將兩圓的方程相減即得公共弦所在的直線方程，直線λ（ax+by+c）+（mx+ny+p）=0經過兩直線ax+by+c=0與 mx+ny+p=0的交點．