Question

已知常數a為正實數，曲線C_n：y=在其上一點P_n（x_n，y_n）的切線l_n總經過定點（-a，0）（n∈N^*）．
（1）求證：點列：P₁，P₂，…，P_n在同一直線上；
（2）求證：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=x_n處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．P_n（a，）總在直線x=a上，即P₁，P₂，，P_n在同一直線上，從而問題解決．
（2）由（1）可知y_n=，從而f（i）===，對=進行放縮從而得出：=，最后設函數F（x）=-ln（x+1），x∈[0，1]，利用導數研究其單調性即可證得結論．
解答：證：（1）∵f（x）=，
∴f′（x）=•（nx）′=•．（1分）
C_n：y=在點P_n（x_n，y_n）處的切線l_n的斜率k_n=f′（x_n）=•，
∴l_n的方程為y-y_n=•（x-x_n）．（2分）
∵l_n經過點（-a，0），
∴y_n=-•（-a-x_n）=•（a+x_n）．
又∵P_n在曲線C_n上，∴y_n==•（a+x_n），
∴x_n=a，∴y_n=，∴P_n（a，）總在直線x=a上，
即P₁，P₂，，P_n在同一直線x=a上．（4分）
（2）由（1）可知y_n=，∴f（i）===．（5分）
=＜=2（-）（i=1，2，，n），

=．（9分）
設函數F（x）=-ln（x+1），x∈[0，1]，有F（0）=0，
∴F′（x）=-==＞0（x∈（0，1）），
∴F（x）在[0，1]上為增函數，
即當0＜x＜1時F（x）＞F（0）=0，故當0＜x＜1時＞ln（x+1）恒成立．（11分）
取x=（i=1，2，3，，n），f（i）=＞ln（1+）=ln（i+1）-lni，
即f（1）=＞ln2，f（2）=＞ln（1+）=ln3-ln2，，f（n）=＞ln（n+1）-lnn，∴＞ln2+（ln3-ln2）++[ln（n+1）-lnn]=ln（n+1）
綜上所述有ln（n+1）＜（n∈N^*）．（13分）
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．