Question

已知f（x）是奇函數，當x＞0時，f(x)=

2x+3

x+1

（I）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（II）用定義證明：f（x）在（0，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析：（I）設x＜0時，則-x＞0，代入已知由函數的奇偶性可得解析式；
（II）設x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，可判f（x₁）-f（x₂）＞0，由單調性的定義可得．

解答：解：（I）當x＜0時，-x＞0，可得f(-x)=

2(-x)+3

(-x)+1

，
由于f（x）是奇函數，于是f（-x）=-f（x），
所以當x＜0時，f(x)=

2x-3

1-x

．                               （4分）
（II）證明：設x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

2x1+3

x1+1

-

2x2+3

x2+1

=

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

由0＜x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函數f(x)=

2x+3

x+1

在（0，+∞）上是減函數．                    （8分）

點評：本題考查函數解析式的求解即常用方法，以及單調性的判斷和證明，屬基礎題．