Question

（本小題滿分12分）

如圖，是直角梯形，又，

，直線與直線所成的角為．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）或 。

【解析】(I)證明即可.

(II) 取BC的中點N，連結AN,MN,可證出,

再作，交AC的延長線于H，連結MH，則由三垂線定理知，，

從而為二面角的平面角 ,然后解三角形求角即可.

解法一：

（Ⅰ）∵

∴，

又∵

∴                                  …………5分

（Ⅱ）取的中點，則，連結，

∵，∴，從而

作，交的延長線于，連結，則由三垂線定理知，，

從而為二面角的平面角                                  …………8分

直線與直線所成的角為

∴

在中，由余弦定理得

在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小為                       …………12分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在平面內，過作，建立空間直角坐標系（如圖）

由題意有，設，

則

由直線與直線所成的解為，得

，即，解得

∴，設平面的一個法向量為，

則，取，得                     …………8分

平面的法向量取為

設與所成的角為，則

顯然，二面角的平面角為銳角，

故二面角的平面角大小為                           …………12分