Question

兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家曾經在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，按照點或小石子能排列的形狀對數進行分類，如圖中的實心點個數1，5，12，22，…，被稱為五角形數，其中第1個五角形數記作a₁=1，第2個五角形數記作a₂=5，第3個五角形數記作a₃=12，第4個五角形數記作a₄=22，…，若按此規律繼續下去，若a_n=145，則n=　　．

Answer 1

考點：

等比數列的通項公式；等差數列的通項公式．

專題：

等差數列與等比數列．

分析：

根據題目所給出的五角形數的前幾項，發現該數列的特點是，從第二項起，每一個數與前一個數的差構成了一個新的等差數列，寫出對應的n﹣1個等式，然后用累加的辦法求出該數列的通項公式，然后代入項求項數．

解答：

解：a₂﹣a₁=5﹣1=4，a₃﹣a₂=12﹣5=7，a₄﹣a₃=22﹣12=10，…，由此可知數列{a_n+1﹣a_n}構成以4為首項，以3為公差的等差數列．

所以a_n+1﹣a_n=4+3（n﹣1）=3n+1．

a₂﹣a₁=3×1+1

a₃﹣a₂=3×2+1

…

a_n﹣a_n﹣1=3（n﹣1）+1

累加得：a_n﹣a₁=3（1+2+…+（n﹣1））+n﹣1

所以=1++n﹣1=．

由，解得：．

故答案為10．

點評：

本題考查了等差數列的通項公式，解答此題的關鍵是能夠由數列的前幾項分析出數列的特點，即從第二項起，每一個數與前一個數的差構成了一個新的等差數列，本題訓練了一種求數列通項的重要方法﹣﹣累加法．