Question

兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家曾經在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，按照點或小石子能排列的形狀對數進行分類，如圖中的實心點個數1，5，12，22，…，被稱為五角形數，其中第1個五角形數記作a₁=1，第2個五角形數記作a₂=5，第3個五角形數記作a₃=12，第4個五角形數記作a₄=22，…，若按此規律繼續下去，若a_n=145，則n=

10

．

Answer 1

分析：根據題目所給出的五角形數的前幾項，發現該數列的特點是，從第二項起，每一個數與前一個數的差構成了一個新的等差數列，寫出對應的n-1個等式，然后用累加的辦法求出該數列的通項公式，然后代入項求項數．

解答：解：a₂-a₁=5-1=4，a₃-a₂=12-5=7，a₄-a₃=22-12=10，…，由此可知數列{a_n+1-a_n}構成以4為首項，以3為公差的等差數列．
所以a_n+1-a_n=4+3（n-1）=3n+1．
a₂-a₁=3×1+1
a₃-a₂=3×2+1
…
a_n-a_n-1=3（n-1）+1
累加得：a_n-a₁=3（1+2+…+（n-1））+n-1
所以an=a1+3

n(n-1)

2

+n-1=1+

3n(n-1)

2

+n-1=

3n2-n

2

．
由an=

3n2-n

2

=145，解得：n=-

29

3

(舍)，或n=10．
故答案為10．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，解答此題的關鍵是能夠由數列的前幾項分析出數列的特點，即從第二項起，每一個數與前一個數的差構成了一個新的等差數列，本題訓練了一種求數列通項的重要方法--累加法．