Question

如圖所示，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的3倍且經(jīng)過點M（3，1）．平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），且交橢圓于A，B兩不同點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），?，所求橢圓的方程為+=1
（2）∵直線l∥OM且在y軸上的截距為m，
∴直線l方程為：y=x+m
由?2x²+6mx+9m²-18=0
∵直線l交橢圓于A、B兩點，
∴△=（6m）²-4×2（9m²-18）＞0?-2＜m＜2
m的取值范圍為-2＜m＜2，且m≠0．
分析：（1）設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），由得，由此能夠得到所求橢圓的方程．
（2）由題意可設(shè)直線l方程為：y=x+m，由整理得2x²+6mx+9m²-18=0，然后由根的判別式能夠推導出m的取值范圍．
點評：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系和基本應用，解題時要認真審題，仔細運算，避免不必要錯誤的發(fā)生．