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當曲線y=1+

4-x2

與直線kx-y-2k+4=0有兩個相異的交點時，實數k的取值范圍是（　　）

A．(0，

)

B．(

，

]

C．(

，

]

D．(

，+∞)

分析：將曲線方程化簡，可得曲線表示以C（0，1）為圓心、半徑r=2的圓的上半圓．再將直線方程化為點斜式，可得直線經過定點A（2，4）且斜率為k．作出示意圖，設直線與半圓的切線為AD，半圓的左端點為B（-2，1），當直線的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率時，直線與半圓有兩個相異的交點．由此利用直線的斜率公式與點到直線的距離公式加以計算，可得實數k的取值范圍．

解答：解：化簡曲線y=1+

4-x2

，得x²+（y-1）²=4（y≥1）

∴曲線表示以C（0，1）為圓心，半徑r=2的圓的上半圓．
∵直線kx-y-2k+4=0可化為y-4=k（x-2），
∴直線經過定點A（2，4）且斜率為k．
又∵半圓y=1+

4-x2

與直線kx-y-2k+4=0有兩個相異的交點，
∴設直線與半圓的切線為AD，半圓的左端點為B（-2，1），
當直線的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率時，
直線與半圓有兩個相異的交點．
由點到直線的距離公式，當直線與半圓相切時滿足

|-1-2k+4|

k2+1

=2，
解之得k=

，即k_AD=

．
又∵直線AB的斜率k_AB=

4-1

2+2

，∴直線的斜率k的范圍為k∈(

，

]．
故選：C

點評：本題給出直線與半圓有兩個不同的交點，求直線的斜率k的取值范圍．著重考查了直線的方程、圓的方程、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．

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，f（

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