Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+4在（-∞，0）上是增函數，在（0，1）上是減函數．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）當x≥0時，曲線y=f（x）總在直線y=a²x-4上方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得：f（x）在（-∞，0）上是增函數，在（0，1）上是減函數，所以當x=0時，f（x）有極大值，即f′（x）=0，即b=0．
（Ⅱ）因為f（x）在（-∞，0）上是增函數，在（0，1）上是減函數，所以-

2

3

a≥1，即a≤-

3

2

．因為曲線y=f（x）在直線y=a²x-4的上方，設g（x）=（x³+ax²+4）-（a²x-4），
所以在x∈[0，+∝）時，g（x）≥0恒成立．用導數求函數g（x）的最小值為g（-a），保證其大于0即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+bx+4，
∴f′（x）=3x²+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是增函數，在（0，1）上是減函數，
∴當x=0時，f（x）有極大值，即f′（x）=0，
∴b=0．
（Ⅱ）f′（x）=3x²+2ax=x（3x+2a），
∵f（x）在（-∞，0）上是增函數，在（0，1）上是減函數，
∴-

2

3

a≥1，即a≤-

3

2

．
∵曲線y=f（x）在直線y=a²x-4的上方，
設g（x）=（x³+ax²+4）-（a²x-4），
∴在x∈[0，+∝）時，g（x）≥0恒成立．
∵g′（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），
令g′（x）=0，兩個根為-a，

a

3

，且

a

3

＜0＜-a，

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

∴當x=-a時，g（x）有最小值g（-a）．
令g（-a）=（-a³+a³+4）-（-a³-4）＞0，
∴a³＞-8，由a≤-

3

2

，
∴-2＜a≤ -

3

2

．

點評：解決此類問題的關鍵是將不等式在某個區間上恒成立問題轉化為函數在該區間上的最值問題，再利用導數求函數的最值，這也是高考考查的熱點之一．