Question

下列說法正確的是：
①?x∈N⁺，（x-1）²＞0     ②

a

•

b

=

a

•

c

，則

b

=

c

③函數f（x）=sinx在第一象限內是增函數．
④“m＜

1

4

”是“一元二次方程x²+x+m=0”有實數解的充分不必要條件．
⑤函數f（x）=2^x+3x的零點所在的一個區間是（-1，0）．其中正確的序號是

④⑤

．

Answer 1

分析：x=1時，命題不成立，故①錯誤；

a

=

0

時，顯然不成立；利用函數的單調性定義，易判斷③的對錯；利用二次方程的解的情況取決于判別式，令判別式大于等于0求出m的范圍即后面的條件；判斷前者成立是否能推出后者成立；反之后者成立能否推出前者，易判斷④的對錯；⑤函數零點左右兩邊函數值的符號相反，根據函數在一個區間上兩個端點的函數值的符號確定是否存在零點．故⑤正確

解答：解：x=1時，命題不成立，故①錯誤；

a

=

0

時，顯然不成立；第一象限的角是無數個不連續的區間構成，由函數單調性的定義，易得③錯誤；，∵一元二次方程x²+x+m=0，m∈R有實數解∴△=1-4m≥0，解得m≤

1

4

，若m

1

4

成立能推出 m ≤

1

4

成立；反之當 m ≤

1

4

成立推不出 m＜

1

4

故④正確；⑤由f(-1)=

1

2

-3＜0，f(0)=1＞0及零點定理知f（x）的零點在區間（-1，0）上，∴零點所在的一個區間是（a-1，a）是（-1，0）
故答案為④⑤

點評：本題主要考查函數零點的概念與零點定理的應用，本題的解題的關鍵是檢驗函數值的符號，考查二次方程的根的情況取決于判別式的符號、考查如何判斷一個命題是另一個命題的什么條件，考查函數零點的概念與零點定理的應用，屬于容易題．