Question

若關于x的不等式a≤

3

4

x²-3x+4≤b的解集恰好是[a，b]，則a+b=

4

．

Answer 1

分析：設f（x）等于

3

4

x²-3x+4，它的圖象為一條拋物線，畫兩條與x軸平行的直線y=a和y=b，如果兩直線與拋物線有兩個交點，得到解集應該是兩個區(qū)間，而此不等式的解集為一個區(qū)間，所以兩直線與拋物線不可能有兩個交點，所以直線y=a應該與拋物線只有一個或沒有交點，所以得到a小于等于拋物線的最小值且a與b所對的函數值相等且都等于b，利用f（b）=b解出b的值，由拋物線的對稱軸即可求出a的值，進而求出a+b的值．

解答：解：設f（x）=

3

4

x²-3x+4，當x=-

-3

2× 3 4

=2時，f（x）_min=1，
由題意可知a≤1，且f（a）=f（b）=b，a＜b，
由f（b）=b得到

3

4

b²-3b+4=b，解得b=0（舍去）或b=4，
可得b=4，
由拋物線的對稱軸為x=2得到a=0，
所以a+b=4．
故答案為：4

點評：此題考查學生掌握二次函數的圖象與性質，靈活利用函數的思想解決實際問題的能力，是一道中檔題．