Question

已知函數f（x）=a^x-a+1，（a＞0且a≠1）恒過定點（

1

2

，2），
（Ⅰ）求實數a；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x+

1

2

）-1，求：函數g（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數F（x）=g（2x）-mg（x-1），求F（x）在[-1，0]的最小值h（m）．

Answer 1

考點：指數函數的圖像與性質,函數解析式的求解及常用方法,指數函數綜合題

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）代入即可求出實數a；
（Ⅱ）代入即可求出函數g（x）的解析式；
（Ⅲ）先化簡F（x），再令t=(

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)x，t∈[1，2]，y=t²-2mt=（t-m）²-m²，分類討論即可求出最小值

解答： 解：（Ⅰ）由a

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-a+1=2，解得a=

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2

，
（Ⅱ）∵g（x）=f（x+

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）-1，
∴g（x）=(

1

2

)(x+

1

2

)-

1

2

-1+1=（(

1

2

)x
（Ⅲ）∵F（x）=g（2x）-mg（x-1），
∴F（x）=(

1

2

)2x-2m(

1

2

)x，
令t=(

1

2

)x，t∈[1，2]，
∴y=t²-2mt=（t-m）²-m²，
 ①當m≤1時，y=t²-2mt在[1，2]單調遞增，
∴t=1時，y_min=1-2m，
②當1＜m＜2時，∴當t=m時，y_min=-m²，
③①當m≥2時，y=t²-2mt在[1，2]單調遞減，
∴t=2時，y_min=4-4m，
綜上所述h（m）=

1-2m，m≤1 -m2，1＜m＜2 4-4m，m≥2

．

點評：本題考查了函數的解析式的求法以及利用函數的單調性求函數的最值的問題，屬于基礎題