Question

已知函數(shù)f(x)=.

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值、最小值；

(Ⅱ)求證：在區(qū)間(1,上函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)=圖像的下方；

(Ⅲ)請你構(gòu)造函數(shù)(x)，使函數(shù)F(x)=f(x)+(x)在定義域(0,上，存在兩個極值點，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：(Ⅰ)

∵x>0, ∴>0,∴f(x)在（0，+¥）上是單調(diào)遞增函數(shù),

∴f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值為f(e)=,最小值為f(1)=

(Ⅱ)證明：設(shè)G（x）=g(x)-f(x),則G(x)=,

== ，

當(dāng)x時，顯然有，

∴G(x)在區(qū)間(1,上是單調(diào)增函數(shù)，

∴G(x)>G(1)=>0在(1,上恒成立，即g(x)>f(x)在(1,上恒成立，

∴在區(qū)間(1,上函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)=圖像的下方.

(Ⅲ)令(x)=-x,則F(x)=-x（x>0）,

令，得x=,或x=2,令得，0<x<,或x>2，令得，<x<2

∴當(dāng)(x)=-x時，

函數(shù)F(x)=f(x)+(x)在定義域(0,上，存在兩個極值點x₁=,x₂=2.