Question

已知A,B兩地相距200千米,一只船從A地逆水到B地,水速為8千米/時,船在靜水中的速度為v千米/時(8＜v≤v₀).若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比,當v=12千米/時時,每小時的燃料費為720元,為了使全程燃料費最省,船的實際速度為多少?

Answer 1

分析：燃料費最省,實質是求函數的最小值.

解：設每小時的燃料費為y₁,比例系數為k(k＞0),則y₁=kv²,當v=12時,y₁=720,

∴720=k·12²,得k=5.

設全程燃料費為y,由題意y=y₁·=,

∴y′==.

令y′=0,∴v=16.

∴當v₀≥16時,v=16時全程燃料費最省;

當v₀＜16時,即v∈(8,v₀)時y′＜0,

即y在(8,v₀］上為減函數,∴當v=v₀時,y_min=.

綜上,當v₀≥16時,v=16千米/時全程燃料費最省,為32 000元;

當v₀＜16時,則v=v₀時全程燃料費最省,為.

點評：本題主要考查分類討論的思想方法和導數的應用.