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【題目】數學家歐拉在年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點,若其歐拉線方程為,則頂點的坐標是(

參考公式:若的頂點的坐標分別是,則該的重心的坐標為.

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

設點的坐標為,由重心的坐標公式求得該三角形的重心坐標,代入歐拉線方程得一方程,求出線段的垂直平分線方程,和歐拉線方程聯立求出三角形的外心,由外心到兩個頂點的距離相等得出另一方程,兩方程聯立可求出點的坐標.

設點的坐標為,由重心的坐標公式可知的重心為

代入歐拉線方程得,整理得,①

線段的中點坐標為,直線的斜率為

線段的垂直平分線方程為,即

聯立,解得,所以,的外心為

,整理得,②

聯立①②得

時,點重合,舍去,因此,頂點的坐標是.

故答案為:.

練習冊系列答案
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(2)若直線與曲線的交點的橫坐標為,且,求整數所有可能的值.

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