Question

【題目】【2018河北保定市高三上學期期末調研】如圖，四面體中， 、分別、的中點， ， ．

（I）求證： 平面；

（II）求異面直線與所成角的余弦值的大小；

（III）求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）；（III）．

【解析】試題分析：（1）由已知條件得出，由計算得出，得出，再由線面垂直的判定定理得出平面；（2）以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，求出的坐標，求出的值為，得出結果；（3）求出平面ABC的一個法向量，由點到平面的距離公式算出結果。

試題解析：（1）連接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD，

∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD，

在△AOC中，由題設知 AO=， ,AC= ，

∴AO2+CO2=AC2， ∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，

∵AO⊥BD，BD∩OC=O，

∴AO⊥平面BCD；

（2）以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，

則A（0，0， ），B（，0，0），C（0， ，0），D（﹣，0，0），, ， ，∴異面直線AD與BC所成角的余弦值大小為 .

（3）解：由（2）知： , .

設平面ABC的一個法向量為=（x，y，z），則

，

令y=1，得=（，1，）

又，

∴點D到平面ABC的距離.