Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求證：平面A₁BD ∥平面CB₁D₁ ．

Answer 1

證明：以D 為原點，分別以DA 、DC 、DD₁所在直線為x 軸、y 軸、z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設正方體的棱長為1，則A₁(1，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，D₁(0，0，1)，B₁(1，1，1)，C(0，1，0).
=（-1，0，-1），=（0，1，-1），=(1，1，0)，=（0，1，-1）．
設平面A₁DB的法向量n₁=(x，y，z)，
則得
令x=-1，則y=z=1，
∴平面A₁DB的一個法向量n₁=（-1，1，1）．
同理，平面CB₁D₁的一個法向量n₂=（1，-1，-1）．
∴n₁=-n₂，即n₁∥n₂，
∴平面A₁BD∥平面CB₁D₁．