Question

已知一個四棱錐的三視圖如圖所示，其中Rt△PDA≌Rt△PBA，且PD=AD=2，E，F(xiàn)，G分別為PA、PD、CD的中點(diǎn)
（1）求證：PB∥平面EFG；
（2）求直線PA與平面EFG所成角的大小；
（3）在直線CD上是否存在一點(diǎn)Q，使二面角Q-EF-D的大小為60°？若存在，求出CQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AB中點(diǎn)M，由EF∥AD∥MG，知EFGM共面，由EM∥PB，能夠證明PB∥平面EFG．
（2）以AD為x軸，AB為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線PA與平面EFG所成角的大小．
（3）設(shè)Q（2，b，0），則，求出面EFQ的法向量=（0，1，b）．面EFD的法向量=（0，1，0），由二面角Q-EF-D的大小為60°，利用向量法能求出CQ的長．
解答：（1）證明：取AB中點(diǎn)M，
∵EF∥AD∥MG，
∴EFGM共面，
∵EM∥PB，PB?面EFG，EM?面EFG，
∴PB∥平面EFG      …（4分）
（2）解：如圖，以AD為x軸，AB為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵PD=AD=2，E，F(xiàn)，G分別為PA、PD、CD的中點(diǎn)，
∴E（0，0，1），F(xiàn)（1，0，1），G（2，1，0），P（0，0，2）
∴=（1，0，0），，
設(shè)平面EFG的法向量為=（x，y，z），則，，
∴，解得=（0，1，1）．
設(shè)直線PA與平面EFG所成角為α，
∵=（0，0，2），
∴sinα=|cos＜，＞|=||=，∴α=45°．
故直線PA與平面EFG所成角的大小45°．
（3）解：設(shè)Q（2，b，0），則，
設(shè)面EFQ的法向量為=（x，y，z），則，，
∴，解得=（0，1，b）．
∵面EFD的法向量=（0，1，0），且二面角Q-EF-D的大小為60°，
∴cos60°=，
解得b=．
故CQ=2-．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，考查二面角的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．