Question

已知一個四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的四個側面中，直角三角形的個數是（　　）

Answer 1

分析：畫出滿足條件的四棱錐的直觀圖，可令棱錐PA⊥矩形ABCD，進而可得可得△PAB 和△PAD都是直角三角形，再由由線面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又得到了兩個直角三角形△PCB 和△PCD，由此可得直角三角形的個數．

解答：解：滿足條件的四棱錐的底面為矩形，且一條側棱與底面垂直，
畫出滿足條件的直觀圖如圖四棱錐P-ABCD所示，
不妨令PA⊥矩形ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，
故△PAB 和△PAD都是直角三角形．
又矩形中 CB⊥AB，CD⊥AD．
這樣CB垂直于平面PAB內的兩條相交直線PA、AB，
CD垂直于平面PAD內的兩條相交直線 PA、AD，
由線面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，
∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．
故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4個．
故選A．

點評：本題主要考查證明線線垂直、線面垂直的方法，以及棱錐的結構特征，屬于基礎題．