Question

設(shè)G是△ABC的重心，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a

GA

+b

GB

+

3

3

c

GC

=

0

，則角A=（　　）

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

Answer 1

分析：根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得到

GA

+

GB

+

GC

=

0

，可得

CG

=

GA

+

GB

．由已知向量等式移項化簡，可得

CG

=

3 a

c

GA

+

3 b

c

GB

，根據(jù)平面向量基本定理得到

3 a

c

=

3 b

c

=1，從而可得a=b=

3

3

c，最后根據(jù)余弦定理加以計算，可得角A的大小．

解答：解：∵G是△ABC的重心，
∴

GA

+

GB

+

GC

=

0

，可得

CG

=

GA

+

GB

．
又∵a

GA

+b

GB

+

3

3

c

GC

=

0

，
∴移項化簡，得

CG

=

3 a

c

GA

+

3 b

c

GB

．
由平面向量基本定理，得

3 a

c

=

3 b

c

=1，可得a=b=

3

3

c，
設(shè)c=

3

，可得a=b=1，由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1+3-1

2×1× 3

=

3

2

，
∵A為三角形的內(nèi)角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．
故選：D

點評：本題給出三角形中的向量等式，求角A的大小，著重考查了三角形重心的性質(zhì)、平面向量基本定理和利用余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．