Question

設函數f(α)=sinα+

3

cosα，其中，角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點P（x，y），且0≤α≤π
（I）若P點的坐標為(-

3

，1)，求f（α）的值；
（II）若點P（x，y）為平面區域

x+y≥1 y≥x y≤1

上的一個動點，試確定角α的取值范圍，并求函數f（α）的值域．

Answer 1

分析：（I）由三角函數的定義，算出sinα、cosα的值，即可求出f（α）的值；
（II）作出題中不等式組表示的平面區域，將點P在區域內運動可得α∈[

π

4

，

π

2

]．根據輔助角公式，化簡得f（α）=2sin(α+

π

3

)，再利用正弦函數的圖象與性質加以計算，即可得到函數f（α）的值域．

解答：解：（I）∵P點的坐標為(-

3

，1)，
∴|OP|=

3+1

=2，得sinα=

1

2

，cosα=

- 3

2

=-

3

2

因此，f(α)=sinα+

3

cosα=

1

2

+

3

•(-

3

2

)=-1；
（II）作出不等式

x+y≥1 y≥x y≤1

表示的平面區域，
得到如圖所示的△ABC及其內部．
其中A（0，1），B（

1

2

，

1

2

），C（1，1）．
∵點P（x，y）為平面區域內的一個動點，∴α∈[

π

4

，

π

2

]．
f(α)=sinα+

3

cosα=2sin(α+

π

3

)，
∵α+

π

3

∈[

7π

12

，

5π

6

]，
∴當α=

π

4

時，f（α）=2sin

7π

12

=

2 + 6

2

達到最大值；當α=

π

2

時，f（α）=2sin

5π

6

=1達到最小值．
由此可得函數f（α）的值域為[1，

2 + 6

2

]．

點評：本題給出點P是角α終邊上一點，求f(α)=sinα+

3

cosα的值域．著重考查了三角函數的定義、三角函數的圖象與性質和函數值域求法等知識，屬于中檔題．