Question

若定義在R上的函數f（x）滿足：存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀是函數f（x）的一個不動點．
（I）求函數g（x）=x³-2x的不動點；
（II）若函數h（x）=ax²+bx-b有不動點-3和1，求h（-1）的值．

Answer 1

分析：（I）根據新定義在R上的函數f（x）滿足：存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，根據已知函數g（x）=x³-2x，列出方程求出不動點；
（II）函數h（x）=ax²+bx-b有不動點-3和1可得h（x）=x，方程有兩個根為-3和1，根據根與系數的關系進行求解；

解答：解：（I）∵定義在R上的函數f（x）滿足：存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，
∴g（x₀）=x₀，即x₀³-2x₀=x₀，∴x₀³-3x₀=0，解得x=0或x=±

3

，
∴函數三個不動點是：-

3

，0，

3

；
（II）∵-3和1是函數h（x）的不動點，
∴h（-3）=-3，h（1）=1，
∴

9a-3b-b=-3 a+b-b=1

，
解得

a=1 b=3

，
于是h（x）=x²+3x-3，h（-1）=-5；

點評：此題主要考查函數的零點與方程的關系，是一道中檔題，新定義的問題一般要讀懂題意，考查的知識點比較全面；