Question

【題目】求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：

（1）一條漸近線方程為，且與橢圓有相同的焦點；

（2）經過點，且與雙曲線有共同的漸近線．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由題意設出雙曲線的標準方程，根據漸近線方程和間的關系求出后可得所求方程；或根據漸近線方程設雙曲線方程為，然后由題意求出后得到所求．（2）根據題意設雙曲線的方程為，代入點的坐標求出后可得所求方程．

（1）方法1：橢圓方程可化為，焦點坐標為，

故可設雙曲線的方程為，其漸近線方程為，

則，

又，

所以可得，，

所以所求雙曲線的標準方程為．

方法2：由于雙曲線的一條漸近線方程為，則另一條漸近線方程為．

故可設雙曲線的方程為，即，

因為雙曲線與橢圓共焦點，

所以，

即，

解得，

所以所求雙曲線的標準方程為．

（2）由題意可設所求雙曲線方程為，

因為點在雙曲線上，

∴，解得，

所以所求雙曲線的標準方程為．