Question

已知函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

 (a∈R)
（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)為f（x）奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，若對任意的t∈R，不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=a-1=0，可得a=1，再進(jìn)行驗證即可；
（3）因為f（x）是奇函數(shù)，從而不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0對任意的t∈R恒成立等價于不等式f（t²+2）＞f（tk-t²）對任意的t∈R恒成立．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．證明如下：…（1分）
證明：函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意x₁，x₂∈R，設(shè)x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

．…（3分）
因為y=2^x是R上的增函數(shù)，且x₁＜x₂，所以2x1-2x2＜0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），所以函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．…（4分）
（2）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）=a-1=0，∴a=1．…（6分）
當(dāng)a=1時，f(x)=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

．
∴f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），…（8分）
此時，f（x）為奇函數(shù)，滿足題意，所以，a=1．…（8分）
（3）因為f（x）是奇函數(shù)，從而不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0對任意的t∈R恒成立等價于不等式f（t²+2）＞f（tk-t²）對任意的t∈R恒成立．…（9分）．
又因為在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，所以等價于不等式t²+2＞tk-t²對任意的t∈R恒成立，即不等式2t²-kt+2＞0對任意的t∈R恒成立．…（10分）
所以必須有△=k²-16＜0，即-4＜k＜4，所以實數(shù)k的取值范圍{k|-4＜k＜4}．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．