Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=a^x-1，其中a＞0且a≠1，
（1）求f（2）+f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解關于x的不等式-1＜f（x-1）＜4，結果用集合或區間表示．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）是定義在R上的奇函數，知f（2）+f（-2）=f（2）-f（2）=0．
（2）當x＜0時，-x＞0，f（-x）=a^-x-1，f（x）是定義在R上的奇函數，-f（x）=a^-x-1，即f（x）=-a^-x+1．由此能求出f（x）的解析式．
（3）不等式等價于或．當a＞1時，有或，此時不等式的解集為（1-log_a2，1+log_a5）．同理可得，當0＜a＜1時，不等式的解集為R．由此能求出關于x的不等式-1＜f（x-1）＜4的解集．
解答：解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（2）+f（-2）=f（2）-f（2）=0．
（2）當x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=a^-x-1，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴-f（x）=a^-x-1，即f（x）=-a^-x+1．
∴．
（3）不等式等價于或．
當a＞1時，有或，注意此時log_a2＞0，log_a5＞0．
可得此時不等式的解集為（1-log_a2，1+log_a5）．
同理可得，當0＜a＜1時，不等式的解集為R．
綜上所述，當a＞1時，不等式的解集為（1-log_a2，1+log_a5）．
當0＜a＜1時，不等式的解集為（-∞，+∞）．
點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數的奇偶性的靈活運用．