Question

已知向量，，函數（a、b為常數且x∈R）．
（Ⅰ） 當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整數a、b，使得當x∈時，f（x）的值域為[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵向量，，
當a=1，b=2時，
函數==2sin（2x+）+2，
當2sin（2x+）=-1時，f（x）取最小值0
（II）∵=2asin（2x+）+b
當x∈時，
f（x）的最小值為-a+b，f（x）的最大值為2a+b，
若f（x）的值域為[2，8]．
則-a+b=2，且2a+b=8，
解得a=2，b=4．
分析：（I）根據已知中向量，，我們可求出 當a=1，b=2時函數的解析式，根據正弦型函數的性質，即可得到（x）的最小值；
（Ⅱ）由已知中向量，，我們可以計算出f（x）的解析式，進而求出函數在區間上的最值，進而根據f（x）的值域為[2，8]，構造關于a，b的方程，解方程即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，正弦函數的值域，其中根據已知中向量，，結合向量數量積公式，求出函數的解析式，是解答本題的關鍵．