Question

已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=2log₂（1-x）．
（1）寫出g（x）解析式，g（x）=

log2(1-x2)

；
（2）若f（x）＜0，則x的取值范圍是

（0，1）

．

Answer 1

分析：（1）依題意，由

f(x)+g(x)=2log2(1-x) -f(x)+g(x)=2log2(1+x)

即可求得g（x）解析式；
（2）由（1）可求得f（x）的解析式，解不等式f（x）＜0即可．

解答：解：（1）∵f（x）+g（x）=2log₂（1-x），
∴f（-x）+g（-x）=2log₂（1+x），
又f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，
∴-f（x）+g（x）=2log₂（1+x），
∴由

f(x)+g(x)=2log2(1-x) -f(x)+g(x)=2log2(1+x)

得：
g（x）=log2(1-x2)，f（x）=log2

1-x

1+x

；
（2）∵f（x）=log2

1-x

1+x

（-1＜x＜1），
∴當(dāng)f（x）＜0時，log2

1-x

1+x

＜0，
∴0＜

1-x

1+x

＜1，
∴0＜x＜1．
∴x的取值范圍是（0，1）
故答案為：log2(1-x2)，（0，1）．

點評：本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法--方程組法；考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．